Question

【題目】如圖，以坐標原點O為圓心的單位圓與x軸正半軸相交于點A，點B，P在單位圓上，且B（﹣ ， ），∠AOB=α．

（1）求 的值；
（2）若四邊形OAQP是平行四邊形，
（i）當P在單位圓上運動時，求點O的軌跡方程；
（ii）設∠POA=θ（0≤θ≤2π），點Q（m，n），且f（θ）=m+ n．求關于θ的函數f（θ）的解析式，并求其單調增區間．

Answer 1

【答案】
（1）解：由三角函數定義得tanα=﹣2，所以原式=
（2）解：∵四邊形OAQP是平行四邊形，∴PA與OQ互相平分，

（i）設PA中點為H，P（x1，y1），Q（x，y），則 ， ，

又 ，所以 ，代入上式得點Q的軌跡方程為（x﹣1）2+y2=1．

（ii）依題意得 ，

又由（i）知 ，∴ ，

∴

∵ ，

∴ 或 ，

∴f（θ）的增區間為 和

【解析】（1）由三角函數定義得tanα=﹣2，再弦化切代入計算，即可求求 的值；（2）（i）設PA中點為H，P（x1 ， y1），Q（x，y），則 ， ，由此可求點O的軌跡方程；（ii）確定 ，即可求其單調增區間．