Question

【題目】已知函數 ．
（1）當a=1時，x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m，求實數m的取值范圍；
（2）若在區間（1，+∞）上，函數f（x）的圖象恒在直線y=2ax的下方，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=1時， ，

可知當x∈[1，e]時f（x）為增函數，

最小值為 ，

要使x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m，即f（x）的最小值小于等于m，

故實數m的取值范圍是

（2）解：已知函數 ．

若在區間（1，+∞）上，函數f（x）的圖象恒在直線y=2ax的下方，

等價于對任意x∈（1，+∞），f（x）＜2ax，

即 恒成立．

設 ．

即g（x）的最大值小于0.

①當 時， ，

∴ 為減函數．

∴g（1）=﹣a﹣ ≤0

∴a≥﹣

∴

②a≥1時， ．

為增函數，

g（x）無最大值，即最大值可無窮大，故此時不滿足條件．

③當 時，g（x）在 上為減函數，在 上為增函數，

同樣最大值可無窮大，不滿足題意．綜上．實數a的取值范圍是

【解析】（1）將a的值代入f（x），求出f（x）的導函數；，將x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m轉化為f（x）的最小值小于等于m，利用[1，e]上的函數遞增，求出f（x）的最小值，令最小值小于等于m即可．（2）將圖象的位置關系轉化為不等式恒成立；通過構造函數，對新函數求導，對導函數的根與區間的關系進行討論，求出新函數的最值，求出a的范圍．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．