Question

已知函數

（1）若函數時有極值且在函數圖象上的點（0，1）處的切線與直線的解析式；

（2）當取得極大值且加取得極小值時，設點M（）所在平面區域為S，經過原點的直線L將S分別面積比為1：3的兩部分求直線L的方程。

Answer 1

解：（1）由

函數時有極值，

又處的切線與直線平行，

 

（2）解法一：由取得極大值且在取得極小值，

即

令

故點M所在平面區域S為如圖△ABC，

易得

同時DE為△ABC的中位線，

∴所求一條直線L的中位線，x=0

另一種情況設不垂直于x軸的直線L也將S分為面積經為1：3的兩部分，設直線L方程為，它與AC，BC分別交于F、G，則k>0，S_{四邊形DEGF}=1

由得點F的橫坐標為：

由得點G的橫坐標為：

即得

解得：（舍去）

故這時直線方程為，

綜上，所求直線方程為：x=0或

（2）解法二：由取得極大值且在取得極小值，

即

令

故點M所在平面區域S為如圖△ABC，

易得

同時DE為△ABC的中位線，

∴所求一條直線L的方程為，x=0

另一種情況由于直線BO方程為：，

設BO與AC交于H，

由得直線L與AC交點為：

∴所求直線方程為：x=0或。