Question

已知，點B是軸上的動點，過B作AB的垂線交軸于點Q，若

,.

(1)求點P的軌跡方程；

(2)是否存在定直線，以PM為直徑的圓與直線的相交弦長為定值，若存在,求出定直線方程;若不存在,請說明理由。

Answer 1

解: (1)設B(0，t)，設Q(m，0)，t²=|m|，m0， m=-4t²，

     Q(-4t²，0)，設P(x，y)，則=(x-，y)，=(-4t²-，0)，

   2=(-，2 t)， +=2。

(x-，y)+ (-4t²-，0)= (-，2 t)，

    x=4t²，y=2 t， y²=x，此即點P的軌跡方程；…………………6分。

   (2)由(1)，點P的軌跡方程是y²=x；設P(y²，y)，M (4，0) ，則以PM為直徑的圓的圓心即PM的中點T(，), 以PM為直徑的圓與直線x=a的相交弦長:

     L=2

 =2=2 ……………10分

若a為常數，則對于任意實數y，L為定值的條件是a-=0, 即a=時，L=

 存在定直線x=，以PM為直徑的圓與直線x=的相交弦長為定值。

 (2)存在定直線x=，以PM為直徑的圓與直線x=的相交弦長為定值。