Question

已知函數f(x)＝e^x－e^－x(x∈R且e為自然對數的底數)．
(1)判斷函數f(x)的奇偶性與單調性；
(2)是否存在實數t，使不等式f(x－t)＋f(x²－t²)≥0對一切x都成立？若存在，求出t；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）奇函數．增函數（2）存在實數t＝－

(1)∵f(x)＝e^x－^x，且y＝e^x是增函數，y＝－^x是增函數，所以f(x)是增函數．由于f(x)的定義域為R，且f(－x)＝e^－x－e^x＝－f(x)，所以f(x)是奇函數．
(2)由(1)知f(x)是增函數和奇函數，∴f(x－t)＋f(x²－t²)≥0對一切x∈R恒成立
?f(x²－t²)≥f(t－x)對一切x∈R恒成立
?x²－t²≥t－x對一切x∈R恒成立
?t²＋t≤x²＋x對一切x∈R恒成立
?²≤對一切x∈R恒成立
?²≤0?t＝－.
即存在實數t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x²－t²)≥0對一切x都成立．