Question

已知，其中是常數．
（1）若是奇函數，求的值；
（2）求證：的圖像上不存在兩點A、B，使得直線AB平行于軸．

Answer 1

(1)；(2)證明見解析．

試題分析：(1)奇函數的問題，可以根據奇函數的定義，利用來解決，由于本題中有對數符號，有根式，因此根據求出后，最好能再求出函數的定義域，驗證下它是奇函數；(2)要證明函數的圖像上不存在兩點A、B，使得直線AB平行于軸，即方程不可能有兩個或以上的解，最多只有一個解，由于表達式不太簡便，因此我們可以從簡單的方面入手試試看，看是不是單調函數，本題函數正好能根據單調性的定義證明此函數是單調函數，故本題結論得證．
試題解析：（1）解法一：設定義域為,則：
因為是奇函數，所以對任意，有，    3分
得.                        5分
此時，，，為奇函數。                6分
解法二：當時，函數的定義域不關于原點對稱，函數不是奇函數.    2分
當時，函數的定義域是一切實數.                   3分
要使得函數是奇函數，則對成立。              5分
所以                               6分
（2）設定義域內任意，設


                 9分
當時，總有，
，得；           11分
當時，
，得。
故總有在定義域上單調遞增                     13分
的圖像上不存在兩點，使得所連的直線與軸平行              14分