Question

【題目】已知圓G:x2+y2-x-y=0,經過橢圓的右焦點F及上頂點B,過圓外一點(m,0)(m>a)且傾斜角為的直線l交橢圓于C,D兩點.

（1）求橢圓的方程;

（2）若右焦點F在以線段CD為直徑的圓E的內部,求m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）. （2）

【解析】

（1）利用圓經過點．求出，得到，求出．寫出橢圓的方程．
（2）設直線的方程為．聯立方程組消去，設，利用韋達定理，結合數量積小于0，求解的范圍．

（1）∵圓G:x2+y2-x-y=0經過點F,B,

, 所以 c=1,b=,

∴a2=4,故橢圓的方程為

（2）易得直線的方程為y=-(x-m)(m>2).

由消去y,得7x2-8mx+(4m2-12)=0.

設C(x1,y1),D(x2,y2), 則,,

∴y1y2=[-(x1-m)]·[-(x2-m)]

=x1x2-m(x1+x2)+m2.

∵=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),

∴=(x1-1)(x2-1)+y1y2

=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2

=2x1x2-(m+1)(x1+x2)+1+m2

=.

∵點F在圓E的內部,

∴ ,即,

解得.

由△ =64m2-28(4m2-12)>0,

解得-.

又,

∴.