Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的定義域；

（2）判斷的奇偶性；

（3）方程是否有實根？如果有實根，請求出一個長度為的區間，使；如果沒有，請說明理由（注：區間的長度）

Answer 1

【答案】（1）定義域為(－1,1)；（2）見解析；（3） .

【解析】【試題分析】（1）根據對數真數為正數，求得函數的定義域為.（2）利用奇偶性的定義判斷出，故函數為奇函數.（3）將原方程等價變形為，構造函數，利用二分法可判斷出函數的根在區間.

【試題解析】

(1)∵

∴－1＜x＜1，故函數的定義域為(－1,1)．

∵f(－x)＝log2(1＋x)－log2(1－x)＝－f(x)，且f(x)的定義域關于原點對稱

∴f(x)為奇函數．

(3)由題意知方程f(x)＝x＋1等價于log2(1－x)－log2(1＋x)＝x＋1，可化為(x＋1)2x＋1＋x－1＝0.

設g(x)＝(x＋1)2x＋1＋x－1，x∈(－1,1)，

則g＝×2－－1＝＜0，

g(0)＝2－1＝1＞0，

∴gg(0)＜0，故方程在上必有實根．

又∵g＝×2－－1＝

＝＞0，

∴gg＜0，

故方在上必有實根．

又∵區間長度－－＝，

∴滿足題意的一個區間為.