Question

【題目】已知函數， ，（ 為常數）

（1）若在處的切線方程為（為常數），求的值；

（2）設函數的導函數為，若存在唯一的實數，使得與同時成立，求實數的取值范圍；

（3）令，若函數存在極值，且所有極值之和大于，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）求函數的導數，利用導數的幾何意義，建立條件關系即可求出b的值．
（2）求函數的導數，解f（x0）=x0與f′（x0）=0，即可得到結論．
（3）求出F（x）的導數，根據函數極值和導數之間的關系，即可得到結論．

試題解析：

（1）∵ 所以直線的，

當時， ，將代入，得.

（2），由題意知消去，

得有唯一解.

令，則，

所以在區間，區間上是增函數，在上是減函數，

又，故實數的取值范圍是.

（3），∴

因為存在極值，所以在上有根即方程在上有根.

記方程的兩根為由韋達定理，所以方程的根必為兩不等正跟.

所以滿足方程判別式大于零

故所求取值范圍為.