Question

【題目】已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a＜b＜c，C=2A．
（1）若c= a，求角A；
（2）是否存在△ABC恰好使a，b，c是三個連續的自然數？若存在，求△ABC的周長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵c= a，

∴由正弦定理有sinC= sinA．

又C=2A，即sin2A= sinA，

于是2sinAcosA= sinA，

在△ABC中，sinA≠0，于是cosA= ，

∴A= ．

（2）解：根據已知條件可設a=n，b=n+1，c=n+2，n∈N*．

由C=2A，得sinC=sin2A=2sinAcosA，

∴cosA= ．

由余弦定理得 = ，代入a，b，c可得：

= ，

解得n=4，

∴a=4，b=5，c=6，從而△ABC的周長為15，

即存在滿足條件的△ABC，其周長為15

【解析】（1）由正弦定理有sinC= sinA，又C=2A，利用倍角公式可求2sinAcosA= sinA，結合sinA≠0，可得cosA= ，即可得解A的值．（2）設a=n，b=n+1，c=n+2，n∈N*．由已知利用二倍角公式可求cosA= ，由余弦定理得 = ，解得n=4，求得a，b，c的值，從而可求△ABC的周長．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用正弦定理的定義和余弦定理的定義的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握正弦定理:；余弦定理:;;．