Question

【題目】已知函數f（x）=x﹣ ．
（1）討論f（x）的單調性．
（2）若f（x）在區間（1，2）上單調遞減，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得，函數f（x）的定義域是（0，+∞），

且f′（x）=1+ ﹣ =

設g（x）=x2﹣ax+2，二次方程g（x）=0的判別式△=a2﹣8，

①當△=a2﹣8＜0，即0＜a＜2 時，對一切x＞0都有f′（x）＞0，

此時f（x）在（0，+∞）上是增函數；

②當△=a2﹣8=0，即a=2 時，僅對x= 有f′（x）=0，

對其余的x＞0，都有f′（x）＞0，此時f（x）在（0，+∞）上也是增函數．

③當△=a2﹣8＞0，即a＞2 時，

g（x）=x2﹣ax+2=0有兩個不同的實根 ， ，

由f′（x）＞0得，0＜x＜ 或x＞ ，

由f'（x）＜0得， ＜x＜ ，

此時f（x）在（0， ），（ ，+∞）上單調遞增，

在（ ， ）是上單調遞減

（2）解：解：f′（x）=1+ ﹣ = ，

依題意f'（x）≤0（等零的點是孤立的），即x2﹣ax+2≤0在（1，2）上恒成立，

令g（x）=x2﹣ax+2，則有 ，解得a≥3，

故實數a的取值范圍為[3，+∞）

【解析】（1）求f（x）的定義域和導數fˊ（x）= ，設g（x）=x2﹣ax+2，因為在函數式中含字母系數，需要根據△的符號進行分類討論，分別在函數的定義域內解不式g（x）＞0和g（x）＜0確定的f（x）單調區間；（2）由條件確定f'（x）≤0，再轉化為x2﹣ax+2≤0在（1，2）上恒成立，由二次函數的圖象列出不等式求解，避免了分類討論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．