Question

已知f（x）為R上的偶函數，對任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）且當x₁，x₂∈[0，3]，x₁≠x₂時，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，給出四個命題：
①f（3）=0； ②直線x=-6是函數y=f（x）的圖象的一條對稱軸；
③函數y=f（x）在[-9，-6]上為增函數；   ④函數y=f（x）在[-9，9]上有四個零點．
其中所有正確命題的序號為

①②④

．

Answer 1

分析：①令x=-3，代入f（x+6）=f（x）+f（3），根據函數為偶函數，得到f（3）=0；
②將f（3）=0代入，得到f（-x-6）=f（x），確定x=-6是函數y=f（x）的圖象的一條對稱軸；
③根據偶函數f（x）在[0，3]上為增函數，且周期為6得到函數y=f（x）在[-9，-6]上為減函數；
④根據f（3）=0，周期為6，得到f（-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0，有四個零點．

解答：解：①令x=-3，則由f（x+6）=f（x）+f（3）得f（3）=f（-3）+f（3）=2f（3），故f（3）=0．①正確；
②由f（3）=0，f（x）為偶函數得：f（-6-x）=f（x），故直線x=-6是函數y=f（x）的圖象的一條對稱軸，②正確；
③因為當x₁，x₂∈[0，3]，x₁≠x₂時，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，故f（x）在[0，3]上為增函數，又f（x）為偶函數，故在[-3，0]上為減函數，又周期為6．故在[-9，-6]上為減函數，③錯誤；
④函數f（x）周期為6，故f（-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0，故y=f（x）在[-9，9]上有四個零點，④正確．
故答案為：①②④．

點評：本題考查了抽象函數的單調性，奇偶性，周期性，綜合性比較強，需熟練靈活掌握．