Question

數列{a_n}是首項為a₁，公差為d的等差數列，若數列{a_n}中任意不同的兩項之和仍是該數列的一項，則稱該數列是“封閉數列”
（1）試寫出一個不是“封閉數列”的等差數列的通項公式，并說明理由；
（2）求證：數列{a_n}為“封閉數列”的充分必要條件是存在整數m≥-1，使a₁=md．

Answer 1

解（1）如數列a_n=2n-7（n∈N^*）不是“封閉數列”，---（1分）
∵a₁=-5，a₂=-3，∴a₁+a₂=-8，-------------------（2分）
依題，?n∈N^*，使a_n=-8--------------（3分）
即，--------------（4分）
這與n∈N^*矛盾
所以數列a_n=2n-7（n∈N^*）不是封閉數列；--------------（5分）
（2）證明：（充分性）若存在整數m≥-1，使a₁=md，則任取等差數列的兩項a_s，a_t（s≠t），
于是a_s+a_t=a₁+（s-1）d+md+（t-1）d=a₁+（s+m+t-2）d=a_s+m+t-1--------（2分）
由于s+t≥3，m≥-1，∴s+t+m-1∈N^*為正整數，-------------------（3分）
∴a_s+m+t-1∈{a_n}，∴{a_n}是封閉數列------（4分）
（必要性）任取等差數列的兩項a_s，a_t（s≠t），若存在a_k使a_s+a_t=a_k，
則2a₁+（s+t-2）d=a₁+（k-1）d?a₁=（k-s-t+1）d--------------------（6分）
故存在m=k-s-t+1∈Z，使a₁=md，--------------------（7分）
下面證明m≥-1．
當d=0時，顯然成立．--------------------（8分）
對d≠0，若m＜-1，則取p=-m≥2，對不同的兩項a₁和a_p，存在a_q使a₁+a_p=a_q，
即2md+（-m-1）d=md+（q-1）d?qd=0，這與q＞0，d≠0矛盾，
故存在整數m≥-1，使a₁=md．--------------------------（9分）
分析：（1）寫出一個數列不是封閉數列的等差數列的通項公式，要利用條件中所給的任意不同的兩項之和仍是該數列的一項進行驗證，得到與事實矛盾的結果．
（2）要證明充分必要條件的問題，本題需要從兩個方面來證明，一是證明充分性，二是證明必要性，證明時注意所取得數列的項來驗證時，項要具有一般性．
點評：本題考查一個新定義的問題，本題解題的關鍵是理解所定義的封閉數列具有的性質，注意這個性質的應用和等差數列本身性質的應用，本題是一個中檔題目．