Question

【題目】已知函數的圖像過點和．

（1）求函數的解析式；

（2）若在上有解，求的最小值；

（3）記，，是否存在正數，使得對一切均成立？若存在，求出的最大值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），理由見解析

【解析】

（1）直接把點和的坐標代入函數方程求出，的值，即可求函數的解析式；（2）原方程等同于在上有解，結合單調性求出右端最小值即可；（3）先根據條件求出數列的通項公式，將題意轉化為恒成立；再通過構造，利用其單調性求出的最小值即可求出的最大值．

（1）由已知得，解得，

∴.

（2）由（1）得在上有解，

即在上有解，

令，易得在上單調遞增，

，即的最小值為2.

（3）因為，

假設存在正數，使得對一切均成立，

則恒成立．

記，

則，

∵，

∴，所以是遞增數列．

所以時最小，最小值，

所以，即的最大值為．