Question

【題目】如圖（1），邊長為的正方形中，，分別為、上的點，且，現沿把剪切、拼接成如圖（2）的圖形，再將，，沿，，折起，使、、三點重合于點，如圖（3）.

（1）求證：；

（2）求二面角最小時的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）利用圖形翻折的幾何關系可得出，，然后由直線與平面垂直的判定定理可得出平面，由此可證明出；

（2）以為原點，、、分別為、、軸建立空間直角坐標系，令，，可得出，求出平面和平面的法向量，然后利用空間向量法結合基本不等式可求出二面角最小時的余弦值.

（1）折疊前，，折疊后，，

又，所以平面，因此；

（2）由（1）及題意知，因此以為原點，、、分別

為、、軸建立空間直角坐標系如圖：

令，，，所以，，

設平面法向量為

則所以，令，則

又平面法向量為，

設二面角的大小為，所以，

又，

當且僅當取等號，所以.

所以二面角最小時的余弦值為.