Question

設，其中為正實數．
（1）當時，求的極值點；
（2）若為上的單調函數，求的取值范圍．

Answer 1

（1）x₁＝是極小值點，x₂＝是極大值點．
（2）a的取值范圍為(0,1]．

試題分析：解　對f(x)求導得
f′(x)＝e^x. ①
(1)當a＝時，令f′(x)＝0，則4x²－8x＋3＝0，解得x₁＝，x₂＝.
結合①，可知

x
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	?	極大值	?	極小值	?

所以，x₁＝是極小值點，x₂＝是極大值點．
(2)若f(x)為R上的單調函數，則f′(x)在R上不變號，
結合①與條件a＞0，知ax²－2ax＋1≥0在R上恒成立，
因此Δ＝4a²－4a＝4a(a－1)≤0，由此并結合a＞0，知0＜a≤1.所以a的取值范圍為(0,1]．
點評：解決的關鍵是根據導數的符號判定函數單調性，以及函數極值的運用，屬于中檔題。