Question

【題目】設函數f（x）的解析式滿足 ．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）當a=1時，試判斷函數f（x）在區間（0，+∞）上的單調性，并加以證明；
（3）當a=1時，記函數 ，求函數g（x）在區間 上的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：設x+1=t（t≠0），則x=t﹣1，

∴

∴

（2）解：當a=1時，

f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，

證明：設0＜x1＜x2＜1，則

∵0＜x1＜x2＜1，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，x1x2﹣1＜0，

∴ ，∴f（x1）﹣f（x2）＞0f（x1）＞f（x2）

所以，f（x）在（0，1）上單調遞減，

同理可證得f（x）在（1，+∞）上單調遞增

（3）解：∵ ，

∴g（x）為偶函數，

所以，∴y=g（x）的圖象關于y軸對稱，

又當 時，由（2）知 在 單調減，[1，2]單調增，

∴

∴當a=1時，函數g（x）在區間 上的值域的為

【解析】（1）根據整體思想x+1=t（t≠0），則x=t﹣1，代入即可得到答案；（2）先把解析式化簡后判斷出單調性，再利用定義法證明：在區間上取值﹣作差﹣變形﹣判斷符號﹣下結論，因解析式由分式，故變形時必須用通分．（3）根據題意判斷出函數g（x）的奇偶性，根據（2）中函數的單調性，即可求出函數g（x）在區間 上的值域．