Question

【題目】如圖，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，E是棱CC1上的動點，F是AB的中點，AC=BC=2，AA1=4．

（1）當E是棱CC1的中點時，求證：CF∥平面AEB1；
（2）在棱CC1上是否存在點E，使得二面角A﹣EB1﹣B的大小是45°？若存在，求出CE的長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：取AB1中點M，連接EM、FM

∵△AB1B中，M、F分別是AB、AB1的中點，

∴MF∥B1B且MF= B1B，

又∵矩形BB1C1C中，CE∥B1B且CE= B1B，

∴MF∥CE且MF=CE，可得四邊形MFCE是平行四邊形

∴CF∥EM

∵CF平面EAB1，EM平面EAB1，

∴CF∥平面AEB1

（2）解：以CA、CB、CC1為x、y、z軸，建立如圖空間直角坐標系，

可得A（2，0，0），B1（0，2，4），設CE=m，得E（0，0，m）

∴ =（﹣2，0，m）， =（﹣2，2，4）

設平面AEB1的法向量為 =（x，y，z）

則有 ，解之并取z=2，得 =（m，m﹣4，2）

∵平面EB1B的法向量為 =（2，0，0），

∴當二面角A﹣EB1﹣B的大小是45°時，有

cos＜ ， ＞= = ，解之得m= ．

因此，在棱CC1上存在點E，當CE= 時，二面角A﹣EB1﹣B的大小是45°．

【解析】（1）根據題意作出輔助線，由已知條件可得線線平行進而得出直線與平面平行。（2）根據題意建立空間直角坐標系，分別求出各個點以及向量的坐標，設出平面AEB1的法向量再根據法向量和向量AE的數量積等于零求出法向量的坐標，再根據數量積的運算公式結合二面角A﹣EB1﹣B的大小求出余弦值進而得到m的值，即可得證點E的存在。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關知識，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．