Question

（2012•桂林一模）對數列{a_n}，規定{△a_n}為數列{a_n}的一階差分數列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）．規定{△²a_n}為{a_n}的二階差分數列，其中△²a_n=△a_n+1-△a_n．
（Ⅰ）已知數列{a_n}的通項公式an=n2+n(n∈N*)，試判斷{△a_n}，{△²a_n}是否為等差或等比數列，并說明理由；
（Ⅱ）若數列{a_n}首項a₁=1，且滿足△2an-△an+1+an=-2n(n∈N*)，求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據數列{a_n}的通項公式an=n2+n(n∈N*)，結合新定義，可判定{△a_n}是首項為4，公差為2的等差數列，不是等比數列，{△²a_n}是首項為2，公差為0的等差數列，也是首項為2，公比為1的等比數列；
（Ⅱ）先猜想an=n•2n-1，再用數學歸納法進行證明，證題時要利用到歸納假設．

解答：解：（Ⅰ）△an=an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2，
∵△a_n+1-△a_n=2，且△a₁=4，（2分）
∴{△a_n}是首項為4，公差為2的等差數列，不是等比數列．   （3分）
∵△²a_n=2（n+1）+2-（2n+2）=2，
∴由定義知，{△²a_n}是首項為2，公差為0的等差數列；也是首項為2，公比為1的等比數列．  （6分）
（Ⅱ）△2an-△an+1+an=-2n，即△an+1-△an-△an+1+an=-2n，即△an-an=2n，
又△a_n=a_n+1-a_n，∴an+1=2an+2n．（9分）
∵a₁=1，∴a2=4=2×21，a3=12=3×22，a4=32=4×23，
猜想an=n•2n-1．（10分）
證明：�。┊攏=1時，a1=1=1×20；
ⅱ）假設n=k時，則ak=k•2k-1．
當n=k+1時，ak+1=2ak+2k=k•2k+2k=(k+1)2(k+1)-1．結論也成立．
∴由�。�、ⅱ）可知，an=n•2n-1．（12分）

點評：本題主要考查對新定義的理解，考查等差數列與等比數列的判定，考查數列的通項，先猜后證是關鍵．