Question

【題目】某健身館在2019年7、8兩月推出優惠項目吸引了一批客戶.為預估2020年7、8兩月客戶投入的健身消費金額，健身館隨機抽樣統計了2019年7、8兩月100名客戶的消費金額，分組如下：（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖：

（1）若把2019年7、8兩月健身消費金額不低于800元的客戶，稱為“健身達人”，經數據 處理，現在列聯表中得到一定的相關數據，請補全空格處的數據，并根據列聯表判斷是否有的把握認為“健身達人”與性別有關？

	健身達人	非健身達人	總計
男	10
女		30
總計

（2）為吸引顧客，在健身項目之外，該健身館特別推出健身配套營養品的銷售，現有兩種促銷方案.

方案一：每滿800元可立減100元；

方案二：金額超過800元可抽獎三次，每次中獎的概率為，且每次抽獎互不影響，中獎1次打9折，中獎2次打8折，中獎3次打7折.

若某人打算購買1000元的營養品，請從實際付款金額的數學期望的角度分析應該選擇哪種優惠方案.

（3）在（2）中的方案二中，金額超過800元可抽獎三次，假設三次中獎結果互不影響，且三次中獎的概率為，記為銳角的內角，

求證：

附：

Answer 1

【答案】（1）列聯表見解析，有的把握認為“健身達人”與性別有關系；

（2）所以選擇方案二更劃算；

（3）見解析.

【解析】

（1）先根據題目完善表格，再根據公式計算出，與比較大小即可得出答案；

（2）若第一個方案，易得付款金額，第二個方案，設付款元，則可能取值為700，800，900，1000，求出分布列，計算出的期望值，比較大小即可；

（3）求出至少中一次的概率，通過可得答案.

（1）列聯表如下：

	健身達人	非健身達人	總計
男	10	40	50
女	20	30	50
總計	30	70	100

因為，

因此有的把握認為“健身達人”與性別有關系；

（2）若選擇方案一：則需付款900元；

若選擇方案二：設付款元，則可能取值為700，800，900，1000.

，

，

，

，

所以（元），

因為，所以選擇方案二更劃算；

（3）∵是銳角三角形，

∴，則三次抽獎機會中，該顧客至少中一次的概率為：

由概率的定義可知：，故有：

.