Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面為菱形，，為等邊三角形．

（1）求證：．

（2）若，，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）0

【解析】

（1）取AD中點E，連接，由已知可得，又即可證平面，從而可得；

（2）建立相應的空間直角坐標系，應用面的法向量垂直得到其余弦值為0.

（1）因為底面ABCD為菱形，且，所以為等邊三角形．如下圖，作，則E為AD的中點．

又因為為等邊三角形，所以．

因為PE和BE為平面PBE內的兩條相交的直線，所以直線平面PBE，

又因為PB為面PBE內的直線，所以．

（2）為等邊三角形，邊長為2，

，所以，，

因為，

所以面，

如圖建立空間直角坐標系，

則，

設平面的法向量為，

，即，即，

取，則，，

設平面的法向量為，

，即，即，

取，則，，

因為，

設二面角的平面角為，則有.