Question

【題目】設點、的坐標分別為和，動點P滿足，設動點P的軌跡為，以動點P到點距離的最大值為長軸，以點、為左、右焦點的橢圓為，則曲線和曲線的交點到軸的距離為_________.

Answer 1

【答案】

【解析】

由動點P滿足,則可得到動點在以線段為弦的圓上,由圓的性質可得圓心為或,半徑為2,則動點P到點距離的最大值為4,即可得到橢圓的方程,聯立部分曲線的方程與橢圓方程求解即可

由題,因為動點P滿足,則動點在以線段為弦的圓上,

因為點、關于軸對稱,則圓心在軸上,設圓心為,原點為,

因為,所以,則在中,,所以,,則圓心為或,

當時, 曲線的方程為；當時, 曲線的方程為；顯然,曲線關于軸對稱,

所以動點P到點距離的最大值為圓的直徑,即,則長軸長為4,

所以橢圓為,

則曲線與曲線的圖象如下圖所示：

因為曲線與曲線均關于軸對稱,所以可只考慮軸上方形成的交點,

即聯立,消去得,,解得或（舍）,

故曲線和曲線的交點到軸的距離為,

故答案為: