Question

已知數列的各項均為正數，記,,
 .
（1）若，且對任意，三個數組成等差數列，求數列的通項公式.
（2）證明：數列是公比為的等比數列的充分必要條件是：對任意，三個數組成公比為的等比數列.

Answer 1

（1）；（2）詳見解析

解析試題分析：（1）由三個數是等差數列，可得.根據定義可知即。變形為 ，由等差數列的定義可知，數列是首項為１，公差為４的等差數列。從而可得其通項公式。（2）若對于任意，三個組成公比為的等比數列，則，由得將上式變形整理根據等比數列的定義可證得數列是公比為的等比數列；若數列是公比為的等比數列，則對任意，有.根據已知可證得＝，從而三個數組成公比為的等比數列.
解: （1)因為對任意，三個數是等差數列，
所以.                             1分
所以,                                        2分
即.                                      3分
所以數列是首項為１，公差為４的等差數列.                   4分
所以.                                  5分
（2）（１）充分性：若對于任意，三個數組成公比為的等比數列，則
.                       6分
所以得    
即.                                       7分
因為當時，由可得，                   8分
所以.
因為，
所以.                                         
即數列是首項為，公比為的等比數列，                  9分
（２）必要性：若數列是公比為的等比數列，則對任意，有
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