Question

【題目】已知函數f(x)＝2x，x∈R.

(1)當m取何值時，方程|f(x)－2|＝m有一個解？兩個解？

(2)若不等式[f(x)]2＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當m＝0或m≥2時，方程有一個解；當0<m<2時，方程有兩個解．（2）m的取值范圍為(－∞，0]。

【解析】

（1）有一個解、兩個解問題，轉化成F（x）=|f（x）-2|與G(x)=m有一個交點還是兩個交點問題；

（2）不等式[f（x）]2+f（x）-m＞0在R上恒成立，即4x+2x-m＞0在R上恒成立，利用參變量分離法，轉化成求4x+2x的取值范圍.

(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，畫出F(x)的圖象如圖所示．

由圖象看出，當m＝0或m≥2時，函數F(x)與G(x)的圖象只有一個交點，原方程有一個解；

當0<m<2時，函數F(x)與G(x)的圖象有兩個交點，原方程有兩個解．

(2)令f(x)＝t(t>0)，t=2x，則H(t)＝t2＋t，（t>0）

因為H(t)＝－ 在區間(0，＋∞)上是增函數，

所以H(t)>H(0)＝0.

因此要使t2＋t>m在區間(0，＋∞)上恒成立，

應有m≤0，

即所求m的取值范圍為(－∞，0]．