Question

【題目】已知橢圓：()的右焦點為，離心率為.直線過點且不平行于坐標軸，與有兩個交點，，線段的中點為.

（1）求橢圓的方程；

（2）證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；

（3）延長線段與橢圓交于點，若四邊形為平行四邊形，求此時直線的斜率.

Answer 1

【答案】（1）.（2）證明見解析.（3）直線的斜率：

【解析】

（1）由題意知 ，，可得，，.故得到橢圓方程.

（2）設直線的方程為()，將直線與橢圓進行聯立，利用中點坐標公式，結合韋達定理得到，進而得解.

（3）四邊形為平行四邊形，則.所以，

，又因為點在圓上，把點坐標代入橢圓方程，即可得出答案.

（1）由已知，，

又，解得，

所以橢圓方程為.

（2）設直線的方程為()

聯立消去得

，不妨設，

則，因為為線段的中點

所以，

所以

所以為定值.

（3）若四邊形為平行四邊形，則

所以

因為點在橢圓上，所以

解得，即

所以當四邊形為平行四邊形時，直線的斜率為