Question

已知函數在處取得極值，且恰好是的一個零點．
（Ⅰ）求實數的值，并寫出函數的單調區間；
（Ⅱ）設、分別是曲線在點和（其中）處的切線，且．
①若與的傾斜角互補，求與的值；
②若（其中是自然對數的底數），求的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）增區間，減區間；（Ⅱ）①，；②.

試題分析：（Ⅰ）根據函數在處取得極值有，以及是函數的一個零點，有，由這兩個等式列方程組求和，從而確定函數，進而利用導數求函數的單調增區間與減區間；（Ⅱ）①在（Ⅰ）函數的解析式確定的基礎上，由得，由與的傾斜角互補得到以及可以求出與的值；②根據這個條件確定與的關系，再進行適當轉化利用基本不等式或函數的最值的思想求的取值范圍.
試題解析：（Ⅰ），
由已知得： 得            3分
解得．                               4分
當時，，當時，，
所以函數單調減區間是，增區間是．         6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，       
依題意，直線和的斜率分別為和，
因為，所以，
所以．（*）
①因為與的傾斜角互補，所以， 
即，（**）                   8分
由（*）（**），結合，解得，，
即，．                             10分
②因為，所以，，
所以，
所以 ，當且僅當時，等號成立．
又因為，當且僅當時，等號成立．
所以．                      14分