Question

【題目】已知拋物線，圓.

（Ⅰ）是拋物線的焦點，是拋物線上的定點，，求拋物線的方程；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，過點的直線與圓相切，設直線交拋物線于，兩點，則在軸上是否存在點使？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；

（Ⅱ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）由題，求得焦點F的坐標，再求得點A的坐標，代入求得方程；

（Ⅱ）先由題求得直線l的方程，再假設存在點使，轉化為，然后聯立方程，求得斜率相加為0，解得M的坐標即可.

（Ⅰ）拋物線C的焦點為,

由

代入拋物線方程得p=2,故拋物線C的方程為：

（Ⅱ）當直線的斜率不存在時,過點 的直線不可能與圓E相切；

所以過拋物線焦點與圓相切的直線的斜率存在,

設直線斜率為k,則所求的直線方程為,

所以圓心到直線l的距離為

當直線l與圓相切時,有

所以所求的切線方程為或

不妨設直線l：,交拋物線于兩點,

聯立方程組 得.

所以,,

假設存在點使，則. 所以

即t=-1故存在點 符合條件

當直線l：時,

由對稱性易知點也符合條件

綜上存在點使