Question

【題目】已知圓心在x軸上的圓C與直線切于點，圓.

（1）求圓C的標準方程；

（2）已知，圓P與x軸相交于兩點（點M在點N的右側），過點M任作一條傾斜角不為0的直線與圓C相交于兩點.問：是否存在實數a，使得？若存在，求出實數a的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在滿足條件的a，且

【解析】

（1）根據切點在過該切點的切線上，可得的值，再根據切線的性質，可以求出圓心的坐標，進而可以求出半徑，最后求出圓的方程；

（2）假設這樣的a存在，，求出兩點的坐標，設出直線的方程，與圓的方程聯立，根據，可以得到，結合一元二次方程根與系數關系，可以求出的值.

（1）設圓心C的坐標為，由點E在直線l上，知

則，

，則，故

所以，即半徑.

故圓C的標準方程為.

（2）假設這樣的a存在，在圓P中，令，得，

解得或，

又由知，所以.

由題可知直線的傾斜角不為0，設直線，，

由，得

∵點在圓C內部，∴有恒成立，.

因為，所以，即，

也即是，整理得，

從而，化簡有，

因為對任意的都要成立，所以，

由此可得假設成立，存在滿足條件的a，且.