Question

【題目】已知的兩個頂點坐標是，，的周長為，是坐標原點，點滿足.

（Ⅰ）求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）設不過原點的直線與曲線交于兩點，若直線的斜率依次成等比數列，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.

【解析】

（Ⅰ）,點的軌跡是以為焦點的橢圓（不含左右頂點）.利用定義法求點軌跡方程，利用求出點的軌跡的方程即可.

（Ⅱ）設直線的方程為與點的軌跡的方程聯解，利用根與系數關系與直線的斜率依次成等比數列建立方程求出，再求出弦長與.點到直線的距離.運用三角形面積公式建立關于的表達式求出最值.

（Ⅰ）已知，所以，點的軌跡是以為焦點的橢圓（不含左右頂點）.

因為，，，所以，，.

所以，點的軌跡方程為.

設，.由得，，又.

故，點的軌跡的方程為，即.

（Ⅱ）由題意可知，直線的斜率存在且不為，

故可設直線的方程為，，，

由，消去得，

則，

即，且，，

故.

∵直線的斜率依次成等比數列，

∴，

即，又，所以，即.

由，及直線的斜率存在，得，

∵，點到直線的距離

.

，當時取等號，

此時直線的方程為，的最大值為.