Question

【題目】已知橢圓Γ：的左，右焦點分別為F1(，0)，F2(，0)，橢圓的左，右頂點分別為A，B，已知橢圓Γ上一異于A，B的點P，PA，PB的斜率分別為k1，k2，滿足.

（1）求橢圓Γ的標準方程；

（2）若過橢圓Γ左頂點A作兩條互相垂直的直線AM和AN，分別交橢圓Γ于M，N兩點，問x軸上是否存在一定點Q，使得∠MQA=∠NQA成立，若存在，則求出該定點Q，否則說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；定點

【解析】

（1）設，根據題意可得，結合橢圓的方程化簡可得，再由即可求解.

（2）根據設直線和的方程分別為和，將直線方程與橢圓方程聯立求出、，設軸上存在一定點，使得成立，則，利用兩點求斜率化簡即可求得.

解：（1）設，

，，

則.

橢圓的標準方程為.

（2）由（1）可知左頂點，且過點的直線和的斜率存在，

設直線和的方程分別為和，

設，

聯立，

直線和橢圓交于兩點，

，

，

同理.

設軸上存在一定點，使得成立，則，

，則

，

，

即，解得.

因此軸上存在一定點，使得成立.