Question

【題目】冠狀病毒是一個大型病毒家族，已知的有中東呼吸綜合征（MERS）和嚴重急性呼吸綜合征（SARS）等較嚴重的疾病，新型冠狀病毒（nCoV）是以前從未在人體中發現的冠狀病毒新毒株，某小區為進一步做好新型冠狀病毒肺炎疫情知識的教育，在小區內開展“新型冠狀病毒防疫安全公益課”在線學習，在此之后組織了“新型冠狀病毒防疫安全知識競賽”在線活動．已知進入決賽的分別是甲、乙、丙、丁四位業主，決賽后四位業主相應的名次為第1，2，3，4名，該小區為了提高業主們的參與度和重視度，邀請小區內的所有業主在比賽結束前對四位業主的名次進行預測，若預測完全正確將會獲得禮品，現用a，b，c，d表示某業主對甲、乙、丙、丁四位業主的名次做出一種等可能的預測排列，記X＝|a﹣1|+|b﹣2|+|c﹣3|+|d﹣4|．

（1）求該業主獲得禮品的概率；

（2）求X的分布列及數學期望．

Answer 1

【答案】（1）；（2）分布列見解析，．

【解析】

（1）求得該業主預測的結果的總數，其中預測完全正確的結果只有1種，利用古典概型及概率的計算公式，即可求解；

（2）以（a，b，c，d）為一個基本事件，用列舉法逐一寫出每種情況，得到隨機變量的取值，求得相應的概率，即可求得隨機變量的分布列，利用公式求得數學期望.

（1）由題意，該業主預測的結果有種可能，預測完全正確的結果只有1種，

所以該業主獲獎的概率為．

（2）以（a，b，c，d）為一個基本事件，如下表所示：

（a，b，c，d）	X	（a，b，c，d）	X	（a，b，c，d）	X
（1，2，3，4）	0	（2，3，1，4）	4	（3，4，1，2）	8
（1，2，4，3）	2	（2，3，4，1）	6	（3，4，2，1）	8
（1，3，2，4）	2	（2，4，1，3）	6	（4，1，2，3）	6
（1，3，4，2）	4	（2，4，3，1）	6	（4，1，3，2）	6
（1，4，2，3）	4	（3，1，2，4）	4	（4，2，1，3）	6
（1，4，3，2）	4	（3，1，4，2）	6	（4，2，3，1）	6
（2，1，3，4）	2	（3，2，1，4）	4	（4，3，1，2）	8
（2，1，4，3）	4	（3，2，4，1）	6	（4，3，2，1）	8

所以隨機變量的所有可能的取值為，

可得

所以隨機變量X的分布列如表：

	0	2	4	6	8

所以數學期望E（X）．