Question

【題目】已知函數
（1）當a=1時，求函數f（x）在x=e﹣1處的切線方程；
（2）當 時，討論函數f（x）的單調性；
（3）若x＞0，求函數 的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=1時，函數f（x）=ln（1+x）﹣ ，

f′（x）= ﹣ = ，f′（e﹣1）= ，

又f（e﹣1）= ，

∴a=1時，函數f（x）在x=e﹣1處的切線方程是：

y﹣ = （x﹣e+1）

（2）解：由題意得：函數f（x）的定義域是（﹣1，+∞），

且f′（x）= ，

＜a≤2時，則2a﹣3＞0，

若﹣1＜x＜0或x＞2a﹣3，則f′（x）＞0，若0＜x＜2a﹣3，則f′（x）＜0，

∴f（x）在區間（﹣1，0）（2a﹣3，+∞）遞增，在（0，2a﹣3）遞減

（3）解：顯然g（x）=g（ ），令φ（x）=lng（x），

因此φ（x）在（0，+∞）上的最大值等于其在（0，1）上的最大值，

φ′（x）=（1﹣ ）ln（1+x）+（x+ ） ﹣lnx﹣1，

設h（x）=（1﹣ ）ln（1+x）+（x+ ） ﹣lnx﹣1，

h′（x）= ，

由（2）得，當a=2時，f（x）在區間（0，1]遞減，

則f（x）=ln（1+x）﹣ ＜f（0）=0，h′（x）＜0，

故函數h（x）在區間（0，1]遞減，于是h（x）≥h（1）=0，

從而函數φ（x）在區間（0，1]遞增，

進而φ（x）≤φ（1）=2ln2，

∵φ（x）=lng（x），

∴函數g（x）的最大值是4

【解析】（1）求出函數的導數，計算f′（e﹣1），f（e﹣1）的值，求出切線方程即可；（2）求出函數的導數，根據a的范圍求出函數的單調區間即可；（3）令φ（x）=lng（x），根據φ（x）在（0，+∞）上的最大值等于其在（0，1）上的最大值，求出φ（x）的最大值，從而求出g（x）的最大值即可．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．