【題目】設函數
.
（1）若
，證明：
；
（2）已知
，若函數
有兩個零點，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）見證明；（2）
【解析】
（1）當
時，利用導數求得函數
的最大值，由此證得不等式成立.（2）先求得
的表達式，將零點問題轉化為
有兩個不相等的實根來解決.顯然
是方程的根.當
，構造函數
，利用導數來求得當
有一個不為零的零點時
的取值范圍.
證明：（1）當時，
，
所以
，
所以當
時，
，此時函數
單調遞增；
當
時，
，此時函數單調遞減.
所以當時，函數有極大值，也為最大值，
所以最大值為
，
所以
.
（2）因為函數
有兩個零點可轉化為
有兩個零點，即關于
的方程有兩個不相等的實根，
易知0為方程的一個根，此時
.
當時，只需有一個不為0的零點即可，
當時，
，
故
為減函數，
因為
，
，
故在
上僅有1個零點，且不為0，滿足題意；
當時，
，不合題意；
當
時，
，
，
，根據零點的存在性定理可知在
上至少有1個零點，當
時，為負數，故在
上也有零點，故不合題意.
綜上，.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】以橢圓
：
的中心
為圓心，
為半徑的圓稱為該橢圓的“準圓”.設橢圓的左頂點為
，左焦點為
，上頂點為
，且滿足
，
.
（1）求橢圓及其“準圓”的方程；
（2）若橢圓的“準圓”的一條弦
與橢圓交于
、
兩點，試證明：當
時，弦的長為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2019年春節期間，我國高速公路繼續執行“節假日高速免費政策”.某路橋公司為掌握春節期間車輛出行的高峰情況，在某高速收費點處記錄了大年初三上午9:20～10:40這一時間段內通過的車輛數，統計發現這一時間段內共有600輛車通過該收費點，它們通過該收費點的時刻的頻率分布直方圖如圖所示，其中時間段9:20～9：40記作區間
，9:40～10:00記作
，10:00～10:20記作
，10:20～10:40記作
.比方：10點04分，記作時刻64.
（1）估計這600輛車在9:20～10:40時間段內通過該收費點的時刻的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值代表）；
（2）為了對數據進行分析，現采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機抽取4輛，記
為9:20～10:00之間通過的車輛數，求的分布列與數學期望；
（3）由大數據分析可知，車輛在春節期間每天通過該收費點的時刻
服從正態分布
，其中
可用這600輛車在9:20～10:40之間通過該收費點的時刻的平均值近似代替，
可用樣本的方差近似代替（同一組中的數據用該組區間的中點值代表），已知大年初五全天共有1000輛車通過該收費點，估計在9:46～10:40之間通過的車輛數（結果保留到整數）.
參考數據：若
，則
，
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
在左、右焦點分別為
，
，上頂點為點
，若
是面積為
的等邊三角形.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）已知
，
是橢圓上的兩點，且
，求使
的面積最大時直線
的方程（
為坐標原點）.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】 在正方體ABCDA1B1C1D1中，若F，G分別是棱AB，CC1的中點，則直線FG與平面A1ACC1所成角的正弦值等于( )
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐
的底面是正方形，側棱
底面
，過
作
垂直
交于
點，作
垂直
交于
點，平面
交
于
點，點
為
上一動點，且
，
.
（1）試證明不論點在何位置，都有
；
（2）求
的最小值；
（3）設平面
與平面的交線為
，求證：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
在橢圓
上，且橢圓的離心率為
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）若
為橢圓
的右頂點，點
是橢圓
上不同的兩點（均異于
）且滿足直線
與
斜率之積為
.試判斷直線
是否過定點，若是，求出定點坐標，若不是，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
，點P為平面上的動點，過點P作直線l：
的垂線，垂足為Q，且
．
Ⅰ
求動點P的軌跡C的方程；
Ⅱ設點P的軌跡C與x軸交于點M，點A，B是軌跡C上異于點M的不同的兩點，且滿足
，求
的取值范圍．
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