Question

【題目】已知函數f（x）=ex（x2+ax+a）． （I）當a=1時，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若關于x的不等式f（x）≤ea在[a，+∞）上有解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（I）當a=1時，f（x）=ex（x2+x+1），則f′（x）=ex（x2+3x+2）， 令f′（x）＞0得x＞﹣1或x＜﹣2；令f′（x）＜0得﹣2＜x＜﹣1
∴函數f（x）的單調增區間（﹣∞，﹣2）與（﹣1，+∞），單調遞減區間是（﹣2，﹣1）
（Ⅱ）f（x）≤ea ， 即ex（x2+ax+a）≤ea ， 可變為x2+ax+a≤ea﹣x ，
令r（x）=x2+ax+a，t（x）=ea﹣x ，
當a＞0時，在[a，+∞）上，由于r（x）的對稱軸為負，故r（x）在[a，+∞）上增，t（x）在[a，+∞）上減，
欲使x2+ax+a≤ea﹣x有解，則只須r（a）≤t（a），即2a2+a≤1，解得﹣1≤a≤ ，故0＜a≤ ．
當a≤0時，在[a，+∞）上，由于r（x）的對稱軸為正，故r（x）在[a，+∞）上先減后增，t（x）在[a，+∞）上減，
欲使x2+ax+a≤ea﹣x有解，只須r（﹣ ）≤t（﹣ ），即﹣ +a≤e ，當a≤0時，﹣ +a≤e 顯然成立
綜上知，a≤ 即為符合條件的實數a的取值范圍．
【解析】（I）當a=1時，f（x）=ex（x2+x+1），求出其導數，利用導數即可解出單調區間；（Ⅱ）若關于x的不等式f（x）≤ea在[a，+∞）上有解，即x2+ax+a≤ea﹣x ， 在[a，+∞）上有解，構造兩個函數r（x）=x2+ax+a，t（x）=ea﹣x ， 研究兩個函數的在[a，+∞）上的單調性，即可轉化出關于a的不等式，從而求得共范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．