Question

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系（），點為曲線上的動點，點在線段的延長線上，且滿足，點的軌跡為。

（Ⅰ）求的極坐標方程；

（Ⅱ）設點的極坐標為，求面積的最小值。

Answer 1

【答案】(Ⅰ) :;:(Ⅱ)2

【解析】

（1）由曲線C1的參數方程能求出曲線C1的普通方程，由此能求出曲線C的極坐標方程；設點B的極坐標為（ρ，θ），點A的極坐標為（ρ0，θ0），則|OB|＝ρ，|OA|＝ρ0，ρ0＝2cosθ0，θ＝θ0，從而ρρ0＝8，由此能求出C2的極坐標方程．

（2）由|OC|＝2，S△ABC＝S△OBC﹣S△OAC|OC||ρBcosθ﹣ρAcosθ|＝|4﹣2cos2θ|，由此能求出S△ABC的最小值．

（1）∵曲線C1的參數方程為（α為參數），

∴曲線C1的普通方程為x2+y2﹣2x＝0，

∴曲線C的極坐標方程為ρ＝2cosθ，

設點B的極坐標為（ρ，θ），點A的極坐標為（ρ0，θ0），

則|OB|＝ρ，|OA|＝ρ0，ρ0＝2cosθ0，θ＝θ0，

∵|OA||OB|＝8，∴ρρ0＝8，

∴，ρcosθ＝4，

∴C2的極坐標方程為ρcosθ＝4．

（2）由題設知|OC|＝2，

S△ABC＝S△OBC﹣S△OAC|OC||ρBcosθ﹣ρAcosθ|＝|4﹣2cos2θ|，

當θ＝0時，S△ABC取得最小值為2．