Question

設，，其中是常數，且．
（1）求函數的極值；
（2）證明：對任意正數，存在正數，使不等式成立；
（3）設，且，證明：對任意正數都有：．

Answer 1

（1）當時，取極大值，但沒有極小值（2）見解析（3）見解析

（1）∵， -----------------1分
由得，，
∴，即，解得，-----------------3分
故當時，；當時，；
∴當時，取極大值，但沒有極小值．-----------------4分
（2）∵，
又當時，令，則，
故，
因此原不等式化為，即， -----------------6分
令，則，
由得：，解得，
當時，；當時，．
故當時，取最小值，-----------------8分
令，則．
故，即．
因此，存在正數，使原不等式成立．-----------------10分
（3）對任意正數，存在實數使，，
則，，
原不等式，
-----------------14分
由（1）恒成立，
故，
取，
即得，
即，故所證不等式成立． -----------------14分