Question

【題目】已知函數.

（1）求在上的最值；

（2）若，當有兩個極值點時，總有，求此時實數的值.

Answer 1

【答案】(1) 當時，，當時，.

(2) .

【解析】分析：，∵，∴，∴，∴在上單調遞增，即可求解；（2）g′（x）=（x2+2x-1-a）ex，x1+x2=-2，a＞-2，x2∈（-1，+∞），g（x2）≤t（2+x1）（ex2+1）（x22-1-a）ex2≤t（2+x1））（ex2+1），-2x2ex2≤t（-x2）（ex2+1），當x2=0時，t∈R；當x2∈（-1，0）時，恒成立，當x2∈（0，+∞）時，恒成立，綜上所述.

詳解：

（1），

∵，∴，∴，

∴在上單調遞增，

∴當時，

當時，

（2），則

根據題意，方程有兩個不同的實根，

所以,即,且.由，

可得，又，

所以上式化為對任意的恒成立.

（ⅰ）當時，不等式恒成立，；

（ⅱ）當時，恒成立，即.

令函數，顯然，是上的增函數，

所以當時，，所以.

（ⅲ）當時，恒成立，即.

由（ⅱ）得，當時，，所以.

綜上所述.