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【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，點在橢圓上.

(1)求橢圓的方程；

(2)設直線與圓相切，與橢圓相交于兩點，求證：是定值.

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）利用離心率可得，進而得到；將點代入橢圓方程可求得，從而得到橢圓方程；

（2）①當直線斜率不存在時，可求得坐標，從而得到，得到；②當直線斜率存在時，設直線方程為，由直線與圓相切可得到；將直線方程與橢圓方程聯立可得到韋達定理的形式，從而表示出，整理可得，得到；綜合兩種情況可得到結論.

（1）由題意得：，即 橢圓方程為

將代入橢圓方程得：

橢圓的方程為：

（2）①當直線斜率不存在時，方程為：或

當時，，，此時

當時，同理可得

②當直線斜率存在時，設方程為：，即

直線與圓相切 ，即

聯立得：

設， ，

代入整理可得：

綜上所述：為定值

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】世界衛生組織的最新研究報告顯示，目前中國近視患者人數多達6億，高中生和大學生的近視率均已超過七成，為了研究每周累計戶外暴露時間（單位：小時）與近視發病率的關系，對某中學一年級200名學生進行不記名問卷調查，得到如下數據：

每周累積戶外暴露時間（單位：小時）

不少于28小時

近視人數

21

39

37

2

1

不近視人數

3

37

52

5

3

（1）在每周累計戶外暴露時間不少于28小時的4名學生中，隨機抽取2名，求其中恰有一名學生不近視的概率；

（2）若每周累計戶外暴露時間少于14個小時被認證為“不足夠的戶外暴露時間”，根據以上數據完成如下列聯表，并根據（2）中的列聯表判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為不足夠的戶外暴露時間與近視有關系？

近視

不近視

足夠的戶外暴露時間

不足夠的戶外暴露時間

附:

P

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（1）求在上的最值；

（2）若，當有兩個極值點時，總有，求此時實數的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點， 軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標為．

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）若曲線和曲線有三個公共點，求以這三個公共點為頂點的三角形的面積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1，F2，焦距為2，一條準線方程為x=2．P為橢圓C上一點，直線PF1交橢圓C于另一點Q．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若點P的坐標為（0，b），求過點P，Q，F2三點的圓的方程；

（3）若=，且λ∈[]，求的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，．

（Ⅰ）當時，求函數的單調區間；

（Ⅱ）若在區間上存在不相等的實數,使成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）若函數有兩個不同的極值點，，求證：.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】每年六、七月份，我國長江中下游地區進入持續25天左右的梅雨季節，如圖是江南某地區年10年間梅雨季節的降雨量單位：的頻率分布直方圖，試用樣本頻率估計總體概率，解答下列問題：

假設每年的梅雨季節天氣相互獨立，求該地區未來三年里至少有兩年梅雨季節的降雨量超過350mm的概率．

老李在該地區承包了20畝土地種植楊梅，他過去種植的甲品種楊梅，平均每年的總利潤為28萬元而乙品種楊梅的畝產量畝與降雨量之間的關系如下面統計表所示，又知乙品種楊梅的單位利潤為元，請你幫助老李分析，他來年應該種植哪個品種的楊梅可以使總利潤萬元的期望更大？并說明理由．

降雨量

畝產量

500

700

600

400

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在數列 中，已知 ，為常數.

(1)證明: 成等差數列;

(2)設 ，求數列的前n項和 ；

(3)當時，數列 中是否存在不同的三項成等比數列，

且也成等比數列?若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知兩點、，點是直角坐標平面上的動點，若將點的橫坐標保持不變、縱坐標擴大到倍后得到點，且滿足．

（1）求動點所在曲線的方程；

（2）過點作斜率為的直線交曲線于、兩點，且滿足，又點關于原點的對稱點為點，求點、的坐標．

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