Question

【題目】對于一個向量組，令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“長向量”

（1）若是向量組的“長向量”，且，求實數的取值范圍；

（2）已知，，均是向量組的“長向量”，試探究，，的等量關系并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）；（2），證明見解析.

【解析】

（1）根據長向量的定義可知，結合條件用坐標表示出和，即可由向量的模長公式得關于的不等式，解不等式即可求得的取值范圍.

（2）由“長向量”定義可得的不等式組，對三組式子合并化簡即可證明.

（1）由“長向量”定義得.

因為，所以,,，

∴，

∴，解得，

∴實數的取值范圍為.

（2）,,的等量關系為.

證明:由題意可知,是向量組的“長向量”，即滿足.

所以，即，

展開化簡可得，

同理,也是向量組的“長向量”，

則，

，

三式相加并化簡得:，

即,，

∴.