Question

【題目】某飲料生產企業為了占有更多的市場份額，擬在2017年度進行一系列促銷活動，經過市場調查和測算，飲料的年銷售量x萬件與年促銷費t萬元間滿足.已知2017年生產飲料的設備折舊，維修等固定費用為3萬元，每生產1萬件飲料需再投入32萬元的生產費用，若將每件飲料的售價定為其生產成本的150%與平均每件促銷費的一半之和，則該年生產的飲料正好能銷售完．

(1)將2017年的利潤y(萬元)表示為促銷費t(萬元)的函數；

(2)該企業2017年的促銷費投入多少萬元時，企業的年利潤最大？

(注：利潤＝銷售收入－生產成本－促銷費，生產成本＝固定費用＋生產費用)

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 該企業2017年的促銷費投入7萬元時，企業的年利潤最大為42萬元.

【解析】試題（1）根據年利潤等于年銷量與單個利潤的乘積，列函數關系式（2）分離變量，利用基本不等式求最值，根據等號取法條件確定促銷費

試題解析：(1)當年銷量為x萬件時，成本為3＋32x(萬元)．

飲料的售價為×150%＋× (萬元/萬件)，

所以年利潤y＝x－(3＋32x＋t)(萬元)，

把x＝代入整理得到y＝，其中t≥0.

(2)由(1)知y＝＝＝50－≤50－2＝42(萬元)，

當且僅當＝，即t＝7時，ymax＝42.

所以該企業2017年的促銷費投入7萬元時，企業的年利潤最大為42萬元．