Question

【題目】已知函數f（x）=loga（x+1），g（x）=2loga（2x+t）（t∈R），a＞0，且a≠1． （Ⅰ）若3是關于x的方程f（x）﹣g（x）=0的一個解，求t的值；
（Ⅱ）當0＜a＜1且t=1時，解不等式f（x）≤g（x）；
（Ⅲ）若函數F（x）=af（x）+tx2﹣2t+1在區間（﹣1，3]上有零點，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵3是關于x的方程f（x）﹣g（x）=0的一個解， ∴loga4﹣2loga（6+t）=0，
∴2=（2+t）2 ，
∴t=﹣4．
（Ⅱ）當0＜a＜1且t=1時，不等式f（x）≤g（x）化為 ，∴﹣
∴解集為：{x|﹣ }；
（Ⅲ）F（x）=af（x）+tx2﹣2t+1
=x+1+tx2﹣2t+1=tx2+x﹣2t+2，
令tx2+x﹣2t+2=0，
即t（x2﹣2）=﹣（x+2），
∵x∈（﹣1，3]，∴x+2∈（1，5]，
∴t≠0，x2﹣2≠0；
∴ =﹣[（x+2）+ ]+4，
∵2 ≤（x+2）+ ≤ ，
∴﹣ ≤﹣[（x+2）+ ]+4≤4﹣2 ，
∴t≤﹣ 或t≥ ．
【解析】（Ⅰ）由題意得loga4﹣2loga（6+t）=0，從而解得t的值；（Ⅱ）由題意得loga（x+1）≤2loga（2x+1），由對數函數的單調性可得，從而得 解．（Ⅲ）化簡F（x）=tx2+x﹣2t+2，從而令tx2+x﹣2t+2=0，討論可得 =﹣[（x+2）+ ]+4，從而得解．