Question

【題目】如圖，已知四棱錐中，底面為直角梯形，，，，平面，，分別是，的中點.

（1）證明：；

（2）若，求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】(1)證明見詳解；(2)

【解析】

（1）先證明直線AE垂直于平面PAD，再由線面垂直證明線線垂直；

（2）根據等體積法，將問題轉化為求解三棱錐的體積即可.

（1）因為E為BC中點，且，故AD=EC，又AD//EC，

故四邊形AECD為平行四邊形，故AE//CD，又CD，

故AEAD；

因為PA底面ABCD，AE平面ABCD，故PAAE

又AD平面PAD，PA平面PAD，

故AE平面PAD，又PD平面PAD

故AEPD.即證.

（2）在中，AF為斜邊上的中線，又因為PA=AB=2，且PAAB

故可得：AF=；

在中，因為AB=2，BE=1，且AEBE，故可得AE=

故可得

在中，因為PA=2=AC，且PA，故可得PC=

在中，因為EF分別為兩邊的中點，故EF=

故由余弦定理可得，則.

故.

又因為F為PB的中點，且PA平面ABCD，

故F點到平面ABCD的距離為

設點C到平面AEF的距離為，

根據，即

解得.

故點到平面的距離為.