Question

【題目】已知函數，.

（1）求函數在上的最大值；

（2）若函數在區間上有零點，求的取值范圍；

（3）求證：.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）證明見解析

【解析】

（1）對求導得，判斷在上的單調性即可求得在上的最大值；

（2）將在區間上有零點轉化為有解，分離參數后構造新的函數，利用導數求得的范圍，再結合，確定的范圍；

（3）由（1）知，，利用對數的運算性質將化成，而，原不等式右側可利用放縮和裂項相消求得，又，原不等式左側也可得證，從而證明不等式成立.

（1），，

在上單調遞減，，

當時，，

在上單調遞減，

．

（2）函數在上有零點

有解在上有解且．

令，，

因為，

令，解得，

在上單調遞增，上單調遞減，

又，，

即，故．

又，得，

綜上可得，.

（3）證明：由（1）知，，

所以時，．

設，

則，

，

所以

所以

又因為

所以

故結論成立.