Question

【題目】設數列{an}的前n項和為Sn，已知ban－2n＝(b－1)Sn.

(1)證明：當b＝2時，{an－n·2n－1}是等比數列；

(2)求{an}的通項公式．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）當b＝2時，an＝(n＋1)·2n－1；當b≠2時，an＝

【解析】

由題意知a1＝2，且ban－2n＝(b－1)Sn，ban＋1－2n＋1＝(b－1)Sn＋1，

兩式相減得b(an＋1－an)－2n＝(b－1)an＋1，

即an＋1＝ban＋2n.①

(1)證明　當b＝2時，由①知an＋1＝2an＋2n，

于是an＋1－(n＋1)·2n＝2an＋2n－(n＋1)·2n＝2(an－n·2n－1)，

又a1－1·21－1＝1≠0，所以{an－n·2n－1}是首項為1，公比為2的等比數列．

(2)當b＝2時，由(1)知an－n·2n－1＝2n－1，即an＝(n＋1)·2n－1；當b≠2時，由①得，an＋1－·2n＋1＝ban＋2n－·2n＋1＝ban－·2n＝b，因此an＋1－·2n＋1＝b＝·bn，

得an＝

綜上: 當b＝2時，an＝(n＋1)·2n－1；當b≠2時，an＝