Question

【題目】如圖，在等腰梯形中，，，，，為梯形的高，將沿折到的位置，使得.

(1)求證：平面；

(2)求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2).

【解析】

(1) 過點作,垂足為,連接.再分別證明與即可.

(2) 分別以,,的方向為,,軸的正方向,建立空間直角坐標系,再根據空間向量求解線面所成的角即可.

(1)證明：過點作,垂足為,則,,

連接,依題意,為等腰直角三角形,

故,

又,故,所以,

在四棱錐中,因為,,

所以,故,

因為,,且平面,

所以平面.

(2)由(1)知,平面,所以,,又,所以,,兩兩垂直.以為原點,分別以,,的方向為,,軸的正方向,建立空間直角坐標系,如圖所示,則各點坐標為：

,,,,,

,,,

設平面的法向量為,則

,故,

取,故.

所以.

設直線與平面所成角為,則.