Question

【題目】已知點是圓心為的圓上的動點，點，線段的垂直平分線交于點.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）矩形的邊所在直線與曲線均相切，設矩形的面積為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】試題分析：（1）利用定義法求橢圓的軌跡方程；（2）設的方程為， 的方程為，直線與間的距離為，直線與間的距離為， ，從而得到S的范圍.

試題解析：

（1)依題，

所以 (為定值)，

所以點的軌跡是以為焦點的橢圓，其中，

所以點軌跡的方程是

(2)①當矩形的邊與坐標軸垂直或平行時，易得；

②當矩形的邊均不與坐標軸垂直或平行時，其四邊所在直線的斜率存在且不為0，

設的方程為， 的方程為，則的方程為， 的方程為，其中，

直線與間的距離為，

同理直線與間的距離為，

所以

，

因為直線與橢圓相切，所以，所以，同理，

所以

，

(當且僅當時，不等式取等號），

所以，即，

由①②可知， .