Question

【題目】已知函數，其中.

（1）若在上存在極值點，求a的取值范圍；

（2）設，，若存在最大值，記為，則當時，是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1），；（2）（a）存在最大值，且最大值為．

【解析】

（1）求出函數的導數，將題意轉換為在上有解，由在上遞增，得，，求出的范圍即可；

（2）求出函數的導數，得到，求出（a），根據函數的單調性求出（a）的最大值即可．

解：（1），，

由題意得，在上有根（不為重根），

即在上有解，

由在上遞增，得，，

檢驗，時，在上存在極值點，

，；

（2）中，

若，即在上滿足，

在上遞減， ，

不存在最大值，則；

方程有2個不相等的正實數根，

令其為，，且不妨設，

則，

在遞減，在遞增，在遞減，

對任意，有，

對任意，有，

，

（a），

將，代入上式，消去，得：

（a），

，，，

由在遞增，得，，

設，，，

，，，

，即在，遞增，

（e），

（a）存在最大值為．