【題目】如圖，四棱柱
的底面為菱形， 
， 
， 
為
中點.
（1）求證： 
平面
；
（2）若
底面
，且直線
與平面
所成線面角的正弦值為
，求
的長.
【答案】(1)證明見解析；(2)2.
【解析】試題分析：（1）設
為
的中點，根據平幾知識可得四邊形
是平行四邊形，即得
，再根據線面平行判定定理得結論，（2）根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組解得平面
一個法向量，根據向量數量積求向量夾角，再根據線面角與向量夾角互余關系列等式，解得
的長.
試題解析：（1）證明：設
為
的中點，連
因為
，又
，所以
，
所以四邊形
是平行四邊形，
所以
又
平面
， 
平面
，
所以
平面
.
（2）因為
是菱形，且
，
所以
是等邊三角形
取
中點
，則
，
因為
平面
，
所以
， 
建立如圖的空間直角坐標系，令
，
則
， 
， 
， 
，
， 
， 
，
設平面
的一個法向量為
，
則
且
，
取
，設直線
與平面
所成角為
，
則
，
解得
，故線段
的長為2.
【題型】解答題
【結束】
20
【題目】橢圓
:
的左、右焦點分別為
、
，若橢圓過點
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）若
為橢圓的左、右頂點， 
（
）為橢圓上一動點，設直線
分別交直線
： 
于點
，判斷線段
為直徑的圓是否經過定點，若是，求出該定點坐標；若不恒過定點，說明理由.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直線
：
，半徑為2的圓
與相切，圓心在
軸上且在直線的右上方.
（1）求圓的方程；
（2）過點
的直線與圓交于
，
兩點（在軸上方），問在軸正半軸上是否存在定點
，使得軸平分
？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設拋物線
的焦點為
，過點
的直線與拋物線相交于
兩點，與拋物線的準線相交于點
， 
，則
與
的面積之比
__________．
【答案】
【解析】
由題意可得拋物線的焦點
的坐標為
，準線方程為
。
如圖，設
，過A,B分別向拋物線的準線作垂線，垂足分別為E,N，則
，解得
。
把
代入拋物線
，解得
。
∴直線AB經過點
與點
，
故直線AB的方程為
，代入拋物線方程解得
。
∴
。
在
中， 
，
∴
∴
。答案： 
點睛：
在解決與拋物線有關的問題時，要注意拋物線的定義在解題中的應用。拋物線定義有兩種用途：一是當已知曲線是拋物線時，拋物線上的點M滿足定義，它到準線的距離為d，則|MF|＝d，可解決有關距離、最值、弦長等問題；二是利用動點滿足的幾何條件符合拋物線的定義，從而得到動點的軌跡是拋物線．
【題型】填空題
【結束】
17
【題目】已知
三個內角
所對的邊分別是
，若
.
（1）求角
；
（2）若
的外接圓半徑為2，求
周長的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學有學生500人，學校為了解學生課外閱讀時間，從中隨機抽取了50名學生，收集了他們2018年10月課外閱讀時間（單位：小時）的數據，并將數據進行整理，分為5組：[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）試估計該校所有學生中，2018年10月課外閱讀時間不小于16小時的學生人數；
（Ⅱ）已知這50名學生中恰有2名女生的課外閱讀時間在[18，20]，現從課外閱讀時間在[18，20]的樣本對應的學生中隨機抽取2人，求至少抽到1名女生的概率；
（Ⅲ）假設同組中的每個數據用該組區間的中點值代替，試估計該校學生2018年10月課外閱讀時間的平均數．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為積極響應國家“陽光體育運動”的號召，某學校在了解到學生的實際運動情況后，發起以“走出教室，走到操場，走到陽光”為口號的課外活動倡議。為調查該校學生每周平均體育運動時間的情況，從高一高二基礎年級與高三三個年級學生中按照4:3:3的比例分層抽樣，收集300位學生每周平均體育運動時間的樣本數據(單位：小時)，得到如圖所示的頻率分布直方圖。
（1）據圖估計該校學生每周平均體育運動時間．并估計高一年級每周平均體育運動時間不足4小時的人數；
（2）規定每周平均體育運動時間不少于6小時記為“優秀”，否則為“非優秀”，在樣本數據中，有30位高三學生的每周平均體育運動時間不少于6小時，請完成下列
列聯表，并判斷是否有99%的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間是否“優秀”與年級有關”．
基礎年級 | 高三 | 合計 | |
優秀 | |||
非優秀 | |||
合計 | 300 |
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
附：K2
，n＝a+b+c+d．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（1）求經過直線3x+4y-2=0與直線x-y+4=0的交點P，且垂直于直線x-2y-1=0的直線方程；
（2）求過點P（-1，3），并且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某生物興趣小組對冬季晝夜溫差與反季節新品種大豆發芽數之間的關系進行研究，他們分別記錄了
月
日至
月
日每天的晝夜溫差與實驗室每天
顆種子的發芽數，得到以下表格
該興趣小組確定的研究方案是：先從這
組數據中選取
組數據，然后用剩下的
組數據求線性回歸方程，再用被選取的
組數據進行檢驗.
(1) 求統計數據中發芽數的平均數與方差；
(2) 若選取的是
月
日與
月
日的兩組數據，請根據
月
日至
月
日的數據，求出發芽數
關于溫差
的線性回歸方程
，若由線性回歸方程得到的估計數據與所選取的檢驗數據的誤差不超過
，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，問得到的線性回歸方程是否可靠？ 附：線性回歸方程
中斜率和截距最小二乘估法計算公式：
， 
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