Question

【題目】如圖，已知正三棱錐P-ABC的側面是直角三角形，PA=6，頂點P在平面ABC內的正投影為點D，D在平面PAB內的正投影為點E，連結PE并延長交AB于點G.

（Ⅰ）證明：G是AB的中點；

（Ⅱ）在圖中作出點E在平面PAC內的正投影F（說明作法及理由），并求四面體PDEF的體積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）作圖見解析，體積為.

【解析】試題分析：證明由可得是的中點.（Ⅱ）在平面內，過點作的平行線交于點， 即為在平面內的正投影.根據正三棱錐的側面是直角三角形且，可得在等腰直角三角形中，可得四面體的體積

試題解析：（Ⅰ）因為在平面內的正投影為，所以

因為在平面內的正投影為，所以

所以平面，故

又由已知可得， ，從而是的中點.

（Ⅱ）在平面內，過點作的平行線交于點， 即為在平面內的正投影.

理由如下：由已知可得 ， ，又,所以,因此平面，即點為在平面內的正投影.

連結，因為在平面內的正投影為，所以是正三角形的中心.

由（Ⅰ）知， 是的中點，所以在上，故

由題設可得平面， 平面，所以，因此

由已知，正三棱錐的側面是直角三角形且，可得

在等腰直角三角形中，可得

所以四面體的體積