Question

.已知函數

（Ⅰ）當時，求的值域

（Ⅱ）設，若在恒成立，求實數a的取值范圍

（III）設，若在上的所有極值點按從小到大排成一列，

  求證：

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）函數的值域為 ；（Ⅱ）的取值范圍為 .（Ⅲ）.

【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的 運用。利用導數求解函數的單調區間，確定值域和運用不等式恒成立問題，得到參數的取值范圍以及不等式的證明。

（1）因為上單調遞增.

，從而得到值域。

（2）因為設，若在恒成立，可以構造函數，記，則.

利用導數的思想確定最值得到參數的范圍。

（3）根據

令，則.

那么可知借助于正切函數的單調區間得到結論。

解：（Ⅰ） 上單調遞增.

所以函數的值域為                  ……………………. 4分

（Ⅱ），記，則.

當時，,所以在上單調遞增.

又，故.從而在上單調遞增.

所以，即在上恒成立………….7分

當時，.

所以上單調遞減，從而，

故在上單調遞減，這與已知矛盾. …………….9分

綜上，故的取值范圍為 .

（Ⅲ）

令，則.

依題意可知，

從而.  …………………….12分

又,所以.    …………….14分